expresiones algebraicas

 Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.

Clasificación de las expresiones algebraicas, según la cantidad de términos.  

*Monomio Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. 

2x²y³

*Binomio Un binomio es una expresión algebraica formada por dos monomios.

2x²y³ + 8x³y

*Trinomio Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres monomios. 

-3mn² + 7m²n² - 15

*Polinomio Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un monomio.

9a ² b²c³ – 10 a⁵b³c + 3abc² + abc

OPERACIONES BÁSICAS

SUMA DE MONOMIOS 

* -2a ²b² + 3a ²b² – 6a ²b² = -5 a²b²

* -1/3 xy² – 3/4 xy² = - 5/12

SUMA DE POLINOMIOS 

*6x⁵ – 3x² + 4x⁴ – 5x + 8

  7x⁴ + 9x⁶ – 11x² + 2x – 13

   

6x⁵ + 4x⁴– 3x²  – 5x + 8

                                                          9x⁶       + 7x⁴ - 11x² + 2x – 13

                                                         9x⁶ + 6x⁵ + 11x⁴ – 14x² – 3x -5 

 RESTA DE MONOMIOS

*-9ab^{3 -} 5ab^{3 =}  -14ab³

RESTA DE POLINOMIOS

*5X⁴ – 3x³ + 2x² 6x + 9                                                                                                                                                          

 5x³ – 6x⁴ + 8x² + 5x – 1

                                                              5X⁴ – 3x³ + 2x² 6x + 9                                                                                                                                                          

                                                             6x⁴ – 5x³ – 8x² – 5x + 9

                                                           11x⁴ – 8x³ – 6x² – 11x + 10

MULTIPLICACION DE MONOMIOS Y POLINOMIOS

         * 3x²y³                              *     3x⁴ – 5x³ – 6x² +4x – 3

                   5xy²                                               6x² – 5x +6

                 15x³y⁵                       = 18x⁶ – 30x⁵ – 36x⁴ + 24x³ – 18x²

                                                                              -15x⁵ + 25x⁴ + 30x³ – 20x² + 15x

                                                        18x⁴ – 30x³ – 36x² + 24x – 15

                                          =18x⁶ – 45x⁵ + 7x⁴ + 24x³ – 74x² + 39x – 18

DIVIION MONOMIOS Y POLINOMIOS

         *  18x⁵ – 10x⁴ + 8x² – 6x + 12 ÷ 2x       

             18x⁵                              

                                 – 10x⁴ + 8x² – 6x + 12

                                 + 10x⁴

                                                   + 8x² – 6x + 12

                                - 8x²          

                                                                   – 6x + 12

                                           +6x

                                                  + 12

L A FACTORIZACION

En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc) en forma de producto. Existen distintos métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que recibe el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

Existen varios tipos de factorización a continuación vamos a ver las más importantes:

Factor común monomio-polinomio

Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos si podemos descubrir un patrón.

4x+4y= 4(x+y)

5ª-10b= 5(a-2b)

Usan la propiedad distributiva. Cuando multiplicamos, tenemos que: a (b+c)= ab+ac Cuando factorizamos: ab +ac= a (b+c). 

Ejemplos:   24 a²  - 12 ab + 3 ba = (12 a) (2 a – b + 3)  

Eje 2:          8 a³  -  6 a²  = (2 a²) (4a – 3)

Eje 3:        14 a- 21b +35 = (7) (2^a – 3b +5)

Eje 4:        3ab + 6ac - 9ad= (3ª) (b + 2c – 3d)

1-      Factor común agrupando términos

Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo.

Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se la saca este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de polinomios.

Tratar desde el principio que nos queden iguales los términos de los paréntesis nos hará más sencillo el resolver estos problemas.

2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b

Agrupo los términos que tienen un factor común:

(2ax - ay + 5a) + (2bx - by + 5b)

Saco el factor común de cada grupo:

A (2x - y + 5) + b (2x - y + 5)

Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene:

(2x -y +5)(a + b)

Eje 2:   ab -2ª -5b +10     = a (b-2) – 5 (b-2) = (a-5) (b-2)

Eje 3:   3 x² – 3 bx + xy –by = 3x (x –b)  + y (x - b) = (3x + y) (x- b)  

2-      Trinomio cuadrado perfecto

(Términos positivos)

X2  +  6x  +  9 = (x + 3)2

X                3

      2.3. X

         6x

Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo. Son: x2 y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto del primero por el segundo"). Dió igual que el otro término. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)2

Eje 1: 64 x² + 144 xy + 81 y² = (8 x + 9y)²   

Eje 2: x2 + 14 x +49 = (x + 7)²

Eje 3: 4 a² b² – 36 ab + 81 = (2ab – 9)²

Trinomio de la forma x² + bx + c

Este tipo de trinomio tiene las siguientes características:

·         Tienen un término positivo elevado al cuadrado y con coeficiente 1 (). Posee un término que tiene la misma letra que el termino anterior pero elevada a 1 (bx) (puede ser negativo o positivo).

·         Tienen un término independiente de la letra que aparece en los otros dos       (+ o -).

Reglas para factorizar un trinomio de esta forma:

1.      Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término será la raíz cuadrada del término.

2.      El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el término “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.

3.      Si los dos factores tienen signos iguales entonces se buscan dos números cuya suma sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, estos números son los segundos términos de los factores binomios.

4.      Si los dos factores tienen signos diferentes entonces se buscan dos números cuya diferencia sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, el mayor de estos números será el segundo término del primer factor binomio, y el menor de estos números será el segundo término del segundo factor binomio.

Eje 1:            m⁸ + 18 m⁴ + 80 = (m + 8) (m + 10)

Eje 2:             x² -11 x + 28 = (x – 4) (x – 7) 

Eje 3:             y² + 12 y -160 =   (y +20)  (y -8)

Trinomio de la forma Ax² + bx + c

Este tipo de trinomio se diferencia del anterior debido a que el término al cuadrado (x²) se encuentra precedido por un coeficiente diferente de uno (debe ser positivo).

 Este se trabaja de una manera un poco diferente, la cual detallamos a continuación:

1.      Multiplicamos el coeficiente “a” del factor “ax²” por cada término del trinomio, dejando esta multiplicación indicada en el término “bx” de la manera “b (ax)”, y en el término “ax²” de la manera (ax)^2.

2.      Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término será la raíz cuadrada del termino (ax)² la que sería “ax”.

3.      al producto resultante lo dividimos entre el factor “a”, con el fin de no variar el valor del polinomio.

4.      El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el término “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.

5.      Se buscaran los segundos términos de los binomios según los pasos tres y cuatro del caso del trinomio anterior.

Eje 1: 5 x² + 11 x + 2

          5 x² (5) + 11 x (5) + 2 (5)

          25x² + 11x (5) + 10

          (5 x+10) (5 x +1)              

          (5x + 10) (5x+1)

_____________________

                 1            1                                    = (x +2) (5x + 1)   RTA

Eje 2: 2 x² +  5x – 12 

            4 x² + 5 x (2) – 24 

            (2 x + 8)  (2x – 3)

_________________________ 

               2                1                                         = (x +4)  (2x -3) RTA

Eje 3: 4 x² + 7 x + 3 

            4 x² (4) + 7 x (4) + 3 (4)

             16 x² + 7 x (4) +12 

            (4x +4)  (4x + 3)

______________________

                4                1                                    = (x +1)  (4x – 3) RTA

                                                                                                                                   

PRODUCTOS NOTABLES

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.

Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.

1.    Suma de binomio al cuadrado

(a + b)² = a² + 2ab + b²

>  (3x + 2y)² = (3x)² +2 (3x) (2y) + (2y)²

                              9x² + 12xy + 4y²

2.    Resta binomio al cuadrado

(a - b)² = a² - 2ab + b²

>  (4m – 5n)² = (4m)² -2 (4m) (5n) + (5n)²

                                16m² + 40mn + 25n²

3.   Suma por diferencia  

(a + b) (a - b) = a² - b²

>
(8x + 2y) (8x - 2y) = (8x)² - (2y)²    =    64x² - 4y²

>
(5x + 10y) (5x - 10y) = (5x)² - (10y)²   =     25x² - 100y²

                                               (4x²)² - (3)²     =  16x – 9

4.   Suma de binomio al cubo 

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

> (2x² + 5y⁴)³ = (2x²)³ +3 (2x²)² (5y⁴) +3 (2x²) (5y⁴) + (5y⁴)³

                             R = 8x⁶ + 60 x⁴y⁴ +150x²y⁸ + 125y¹²

>  (4m²n³ + 2m³n⁴)² = (4m²n³) +3 (4m²n³)² (2m³n⁴) +3 (4m²n³) (2m³n⁴)² +               (2m³n⁴)³

                                       =  64m⁶n⁹ +3 (16m⁴n⁶) (2m³n⁴) +3 (4m²n³)       

                                                      (4m²n⁸)(4m⁹n¹²)

                               

                                    R = 64m⁶n⁹ + 16m⁷n¹⁰ + 48m⁸n¹¹ + 8m⁹n¹²

5.   Resta de binomio al cubo 

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

>  (2x²y³ - 3x)³ = (2x²y³) ³ -3 (2x²y³)² (3x) +3 (2x²y³) (3x)² - (3x)³

                                  8x⁶y⁹-3 (4x⁴y⁶) (3x) +3 (2x²y³) (9x²) - 27x³

                           R = 8x⁶y⁹ – 36x⁵y⁶ + 54x⁴y³ – 27x³

6.  Trinomio al cuadrado 

(a + b + c) = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

>  (2a + 5b + 3c)² = (2a)² + (5b)² + (3c)² +2 (2a) (5b) +2 (2a) (3c) +2 (5b) (3c)

                                R = 4a² + 25b² + 9c² + 20ab + 12ac + 30bc

>  (2x + 3y – 5z)² = (2x)² + (3y)² + (-5z)² +2 (2x) (3y) +2 (3y) (-5z)

                           4x² + 9y² + 25z² + 12xy – 20xz – 30xyz 

7.   Suma de cubos

a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b)

     Raíces cubicas

Ø  64m³ + 125n⁶ = (4m + 5n²) ((4m)² - (4m) (5n)² + (5n²)²)

                       = (4m + 5n²) (16m² - 20mn² + 25n⁴)

8.  Resta de cubos 

a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b)

Ø  27a⁹ – 8b¹² = (3a³ – 2b⁴) ((3a³)² + (3a³) (2b⁴) + (2b⁴)²)

                   = (3a³ – 2b⁴) (9a⁶ + 6a³ b⁴ + 4b⁸)

En matemática, el triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular.

Ø  2x + 3y)⁴ = 1(2)⁴ +4 (2x)³ (3y) +6 (2x)² (3y)² +4 (2x) (3y)³ +1 (3y)⁴

                = 16x⁴ +4 (8x³) (3y) +6 (4x²) (9y²) +4 (2x) (27y³) +81y⁴

                = 16x⁴ +96x³y + 216x²y² + 216xy³ +81y⁴

Ø  (3x² - 4y³)⁵ = 1(3x²)⁵ -5 (3x²)⁴ (4y³)+10 (3x²)³ (4y³)² -10 (3x²)² (4y³)³ 

                      +5 (3x²) (4y³)⁴ -1 (4y³)⁵

                   = 243x¹⁰ -5 (81x⁸) (4y³) +10 (27x⁶) (16y⁶) -10 (9x⁴) (64y⁹)

                      +5 (3x²) (256y¹²) -1 (1024y¹⁵)

                   = 243x¹⁰ – 1620x⁸y³ + 4320 x⁶y⁶ – 5760x⁴y⁹ + 3840 x²y²

                                 -1024y¹⁵

ÁNGULOS

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice.¹ Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.

www.youtube.com/watch?v=J_yaZjR75QY 





COLABORADORES....

JOSE DIEGO MATOMA

Soy una persona responsable, educada y con muchas ganas de seguir aprendiendo en este proceso. Capaz  de aceptar mis errores y dispuesto a recibir críticas constructivas que me permitan acceder  a nuevos conocimientos que enriquezcan mi camino profesional.

Me gusta mucho hacer deporte ir al gimnasio, leer, jugar ajedrez, vivo con mis papas y dos hermanos en los tres reyes II-sector por el sur. En estos momentos estoy estudiando ingeniería mecánica voy en segundo semestre y espero terminar pronto la carrera y ser un gran profesional. 

JULIAN CANTOR 

Soy una persona respetuosa, con miras hacia un buen futuro, alguien que se esmera por lograr todos sus proyectos, dedicado, puntual, sencillo, con una gran capacidad para el trabajo en equipo.

SEBASTIAN TELLEZ RODRIGUEZ

Responsabilidad, entusiasmo, liderazgo, etc. Son algunas de esas cualidades principales que me describen. Ademas de ello cuento con la capacidad para la solución de problemas y toma de decisiones, gran disposición para aprender y trabajar en equipo con actitud emprendedora y dinámica enfocada al constante crecimiento y desarrollo para el logro de las metas trazadas. 

Como hobbys, se encuentra cosas como el fútbol; motocicletas y vídeo juegos entre otras.